一、 勻速圓周轉(zhuǎn)動(dòng)體的加速度 (向心加速度)

現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)工藝均有大量的轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械設(shè)備， 其中多數(shù)設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)可視為勻速圓周轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，對(duì)該勻速圓周轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行分析，對(duì)事轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械管理的技術(shù)人員具有重要的意義。 如圖 1 所示為一物體以 O 為中心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)示意圖，我們對(duì)其運(yùn)行和受力狀態(tài)分析如下：

 

圖 1、勻圓周轉(zhuǎn)速體示意圖

 

眾所周知，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的條件一是受到一個(gè)指向圓心力的作用，另一個(gè)條件是物體具有一個(gè)初速度?？梢栽O(shè)想，若沒(méi)有初速度則物體將向著圓心方向作勻加速運(yùn)動(dòng)。 若沒(méi)有向心力， 則物體將沿著初速度的方向做直線勻速運(yùn)動(dòng)。 因此我們可以將圓周運(yùn)動(dòng)看成是沿圓心方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)和沿初速度方向的勻速運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。

如圖 1 所示，物體自 A 至 B 的運(yùn)動(dòng)，可看成先由 A 以速度 V 勻速運(yùn)動(dòng)

至 C，再由 C 以加速度 a勻加速運(yùn)動(dòng)至 B，由圖1 可知：

 

整理上式即得：R2+AC2=(R+BC)2

              AC2=2R·BC+BC2

當(dāng)?t很小時(shí)BC<R,即BC2<2R·BC

故有AC2=2RBC

∵AC=v?t,BC=?a?t2

代入上試即得

當(dāng)?t→O時(shí)，AC方向的運(yùn)動(dòng)可以忽略，OC與OA重合，故物體只有指向圓心方向的加速度a和與之對(duì)應(yīng)的向心力 F。

 

二、 轉(zhuǎn)子不平衡概念

不平衡產(chǎn)生的離心力（與向心力大小相等方向相反）

旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)子由于受材料質(zhì)量和加工技術(shù)等各方面的影響，轉(zhuǎn) 子上的質(zhì)量分布相對(duì)于旋轉(zhuǎn)中心線不可能絕對(duì)地軸對(duì)稱的， 因此任何一個(gè)轉(zhuǎn)子不可能做到“絕對(duì)平衡”，轉(zhuǎn)子質(zhì)量中心和旋轉(zhuǎn)中心線之間總是有一定的偏心距存在， 這就使得轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)形成周期性的離心力、力干擾，在軸承上產(chǎn)生動(dòng)載荷，使機(jī)器發(fā)生振動(dòng)。我們把產(chǎn)生離心力的原因—— 旋轉(zhuǎn)體質(zhì)量沿旋轉(zhuǎn)中心線的不均勻分布叫做“不平衡”。也可以認(rèn)為， 不平衡就是指處于平衡狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)體上存在多余 （或不足）的質(zhì)量。

 

圖 2、轉(zhuǎn)子不平衡產(chǎn)生的離心力

考慮如圖 2 所示，一個(gè)帶有薄圓盤的轉(zhuǎn)子，假定轉(zhuǎn)子質(zhì)量為Ｍ，質(zhì)心距旋轉(zhuǎn)中心Ｏ的距離為ｅ （稱為偏心距），轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度為 ω，根據(jù)牛頓第二定律，則轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的離心力為（對(duì)勻轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子） ：

Ｆ＝Ｍｅ ω2＝Ｍｅ（２πｎ／６０）2＝Ｍｅｎ2／９１．３ ［Ｎ］

式中 Ｍ——質(zhì)量，［ｋｇ］；

ｅ——偏心距，［ｍ］；

ω——角速度，［１／ｓ］；

ｎ——轉(zhuǎn)速，［ｒ／ｍｉｎ］。

由上式可知， 離心力與轉(zhuǎn)速的平方成正比， 轉(zhuǎn)速愈高， 離心力增加的愈快。式中離心力Ｆ是一個(gè)矢量， 其方向與偏心距ｅ的方向相同，是以角速度 ω繞軸線旋轉(zhuǎn)的。 力Ｆ通過(guò)轉(zhuǎn)軸作用在轉(zhuǎn)子軸承上， 使軸承承受附加動(dòng)載荷，增加轉(zhuǎn)子扭矩一小部分功率損失。

例如，上圖中的圓盤質(zhì)量為２０ｋｇ， 在半徑２ｃｍ處有５０ｇ的不平衡質(zhì)量，當(dāng)轉(zhuǎn)速為１００００ｒ／ｍｉｎ時(shí)，求不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的離心力。

Ｆ＝Ｍｅ（２ πｎ／６０）2＝０．０５×０．０２×（２ π× １００００／６０）2＝１０９６Ｎ

三、臨界轉(zhuǎn)速

圖 3、剛性轉(zhuǎn)子軸運(yùn)轉(zhuǎn)示意圖

如圖 3 所示，轉(zhuǎn)子兩端對(duì)稱，中間有一個(gè)質(zhì)量為ｍ的圓盤，支撐在軸承上。 當(dāng)轉(zhuǎn)軸以角速度 ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，圓盤的不平衡離心力使軸發(fā)生撓曲，圖中ｏ為軸承回轉(zhuǎn)中心，ｃ為圓盤幾何中心，Ｇ為圓盤質(zhì)量中

心。其中撓度ａ＝ＯＣ，偏心距ｅ＝ＣＧ。轉(zhuǎn)子在低轉(zhuǎn)速情況下（一階臨界轉(zhuǎn)速下），質(zhì)心Ｇ在圓盤中心Ｃ之外，且Ｏ，Ｃ和Ｇ三點(diǎn)成一直線。 當(dāng)不計(jì)圓盤重力影響時(shí)， 轉(zhuǎn)子受到的離心力ｍ（ａ＋ｅ）ω2和彈性恢復(fù)力ｋａ相等，即 :

ｍ（ａ＋ｅ）ω2＝ｋａ

式中 ｋ——軸的剛度系數(shù)，由材料力學(xué)求得。

由上式可得轉(zhuǎn)盤處的撓度公式為：

ａ＝ｅω2／（ｋ／ｍ－ ω2）----- （a）

圖 4、撓性轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)示意圖

如圖 4 所示為轉(zhuǎn)速高于臨界轉(zhuǎn)速的情況（撓性軸） 。這時(shí)，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心 G和回轉(zhuǎn)中心 O的相對(duì)位置，通過(guò)一個(gè)過(guò)渡過(guò)程發(fā)生了變化，質(zhì)心 G從軸心 C的“外面”轉(zhuǎn)到“里面”去了，于是平衡方程式為：

m（a-e）ω2=ka

由此得撓度為：a=ｅω2／（ω2-ｋ／ｍ） ------ （b）

從式（a）和（b）都可以看出，當(dāng)分母等于零時(shí)，軸的撓度 a 趨于無(wú)窮大，系統(tǒng)發(fā)生臨界轉(zhuǎn)速現(xiàn)象，因而得出臨界轉(zhuǎn)速的條件為：

ω2-ｋ／ｍ =0

令ωｎ＝（ｋ／ｍ）?，稱為轉(zhuǎn)子無(wú)阻尼時(shí)的橫向固有頻率，則（a）和（b）式可寫成：

ａ＝e/[1-（ωｎ/ ω）2] 或ａ＝ e/[ （ωｎ/ ω）2-1]

當(dāng)轉(zhuǎn)速 ω＝ωｎ時(shí)，軸的撓度ａ理論上可為無(wú)限大 (見圖 5)，這個(gè)角速度 ω就稱為軸的臨界轉(zhuǎn)速，在臨界轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速頻率等于其橫向固有頻率。

圖 5、轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的振動(dòng)幅值實(shí)際轉(zhuǎn)子是存在阻尼的， 這種阻尼力來(lái)自于軸的油膜阻尼、氣體或液體阻尼、滑動(dòng)面之間的摩擦阻尼以及材料不是完全彈性引起的內(nèi)摩擦阻尼等方面。阻尼力與速度成正比，它的方向與速度方向相反對(duì)于有阻尼的轉(zhuǎn)子，圓盤上Ｏ、Ｃ、Ｇ三點(diǎn)就不一定在同一直線上。θ的變化范圍在０—— л之間，圖 6 中可知，對(duì)于無(wú)阻尼的轉(zhuǎn)子系

圖 6、振動(dòng)位移與不平衡

激振力的相位變化統(tǒng)，當(dāng) ω／ωn<１時(shí)， θ＝０o，即振動(dòng)位移與激振力同相位；

當(dāng) ω／ωn>１時(shí)， θ＝１８０ o，即振動(dòng)位移與激振力相位相反；

當(dāng)ω／ωn＝１時(shí)，共振點(diǎn)前后的相位發(fā)生突然變化。如果系統(tǒng)存在 阻尼，相位的變化就比較緩慢，阻尼愈大，變化愈趨平緩。但在共振 點(diǎn)上，振動(dòng)位移總是滯后于激振力９０o，而與阻尼大小無(wú)關(guān)。

當(dāng)ω遠(yuǎn)大于 ωｎ的時(shí)候， a≈e, θ相位角趨近于１８０ o，此時(shí)心Ｇ從轉(zhuǎn)盤中心Ｃ的外側(cè)移到內(nèi)側(cè)， 即轉(zhuǎn)子的質(zhì)心已緊靠著軸承的中 心線，如圖 4 所示，就好像轉(zhuǎn)子是繞著它的質(zhì)心在旋轉(zhuǎn)，即離心力有 減小的趨勢(shì)，因此過(guò)臨界轉(zhuǎn)速后振幅又逐漸下降。這種現(xiàn)象稱為“動(dòng)對(duì)中”。從圖 5 看出，轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速之前，振幅隨轉(zhuǎn)速的增加呈 增高趨勢(shì)， 但是過(guò)臨界轉(zhuǎn)速之后振幅又會(huì)降下來(lái)，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原 因可從轉(zhuǎn)子過(guò)臨界轉(zhuǎn)速前后激振力與位移之間的相位變化過(guò)程中看的出來(lái)。